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Fev
23
2012

Termodinâmica

Gases Ideiais, A Primeira Lei, Trabalho e Calor

Esta página são notas que fui escrevendo por escrever (aprendizagem ativa) quando estava a estudar termodinâmica I. Está aqui mais para "inglês ver".

Num sistema fechado,

dE = \delta W + \delta Q

Notar qe já qe W e Q dependem do caminho, temos de escrever um diferencial inexacto.

Para efeitos termodinâmicos,

E = E_c + E_{pg} + U

Se o sistema for móvel, então

E = U

já qe W e Q dependem do caminho não podemos escrever um diferencial exacto, portanto ao integrar ficamos com

\Delta U = W_1^2 + Q_1^2

Trabalho de um gás a pressão constante

W_1^2 = - m \int_{v_1}^{v_2} p dv = -mp(v_2 - v_1)

Trabalho de um gás ideal num processo isotérmico, isto é,

pV=cte.

W_1^2 = - m \int_{v_1}^{v_2} p dv = -p_1V_1 \ln(\frac {V_2}{V_1} )

Se for adiabático e imóvel significa qe

Q=0, \Delta E_c e \Delta E_{pg} = 0, portanto \Delta U = W_1^2 Sendo um gás ideal podemos então dizer qe a energia interna é função da temperatura (T), porqe consideramos C_p e C_v serem constantes e iguais a C_p=C_v + R_{gas} portanto neste caso todo o trabalho vai ser convertido em aumento de temperatura. Notar qe C_p e C_v são iguais para substancias incompressíveis tais como líqidos e sólidos.

Isto é o mesmo qe dizer qe num gás ideal e em substâncias incompressíveis se \Delta U=0 então \Delta T=0. No entanto, se estivermos a lidar com um gás não ideal, como por exemplo vapor sobreaqecido abaixo do ponto crítico (T_i < T_{Cr} e P_i < P_{Cr}) num processo isobárico, devemos usar C_p enquanto qe se for isocórico C_v.

Processo politrópico no diagrama P-V

Importante lembrar qe:

— Num processo isobárico

Q_1^2 = m(h_2 - h_1)

\Delta u = m \overline c_v \Delta T

— Num processo isocórico

Q_1^2 = m \Delta u

\Delta h = m \overline c_p \Delta T

Se a capacidade térmica mássica / calor específico para o gás ideal não for considerada constante, é preciso encontrar uma média entre os dois valores de c em T_1 e c a T_2.

Sistemas abertos

Além disso,

h = u + pv

Portanto, para sistemas abertos, é conveniente reescrever a primeira lei como

\dot{W} + \dot{Q} + \sum_{i=1}^{NE} [ \dot{m_e}(h_e+ \frac {c^2}{2} + gz)]_i = \sum_{j=1}^{NS} [ \dot{m_s}(h_s+ \frac {c^2}{2} + gz)]_j

Se considerarmos \Delta E_c e \Delta E_{pg} serem zero, então pode ser simplificada como

\dot{W} + \dot{Q} + \sum_{i=1}^{NE} ( \dot{m}_eh_e )_i = \sum_{j=1}^{NS} ( \dot{m}_sh_s)_j

W_1^2 + Q_1^2 + m_eh_e = m_s h_s + m_2 u_2 - m_1 u_1

m_s h_s = m_1 u_1 - m_2 u_2

Carnot e ciclos

Todas as máqinas reversíveis a operar entre os mesmos reservatórios têm os mesmos rendimentos, independentemente de como são constituídas e do fluído de trabalho

\eta = \frac {what you get}{what you pay for}, \eta = \frac {W_{liq}}{Q}, \eta = 1- \frac {T_B}{T_A}

Para um ciclo termodinâmico reversível têm-se então qe

\frac {Q_A}{Q_B} = \frac {T_A}{T_B}

isto é, a proporção entre as trocas de calor da fonte qente e para a fonte fria é igual à porporção entre as temperaturas das fontes qente e fria.

Representação esquemática de uma máquina térmica

Onde

W_{liq} = \sum W_{ciclo}

Por exemplo, num sistema com compressor e turbina será

W_{liq}= W_C + W_T

Sendo qe como o compressor recebe trabalho, o valor será positivo, e para a turbina negativo.

Entropia

Sabemos qe há uma propriedade (é propiedade porqe não depende do caminho, basta-nos apenas saber os estados, tal como a temperatura) independente termodinâmica chamada entropia, que pode ser definida por

dS = \frac {\delta Q}{T}

Integrando ambos os lados entre um estado 1 e 2

\int_{1}^{2} dS = \int_{1}^{2} \frac { \delta Q}{T}

\int_{1}^{2} dS = \Delta S = S_2 - S_1

\int_1^2 \frac { \delta Q}{T} = \frac {1}{T} \int_1^2 \delta Q = \frac {Q_1^2}{T}

Logo,

\Delta S = \frac {Q_1^2}{T}

Lembrar:

\int_1^2 \delta \pi = \pi_1^2

onde \pi é qualqer quantidade dependente do caminho tal como W e Q. Para uma propriedade tal como temperature ou energia

\int_1^2 d \pi = \Delta \pi = \pi_2 - \pi_1

\Delta S_{univ} = \Delta S_{viz} + \Delta S_{sist}

A vizinhança noralmente serão as fontes, qe é aqilo está em email com a fronteira do sistema, o qual se costuma definir à volta das maqinas. Se forem reversiveis, \Delta S_{sist} = 0. Assim, a soma terá o aspeto seguinte

\Delta S_{univ} = \Delta S_{FonteA} + \Delta S_{FonteB}

SLT: vulgarmente conhecida como a lei do aumento da entropia.

Enquanto a quantidade de massa/energia se mantém constante - PLT - a sua qualidade deteriora-se ao longo do tempo. Tal deve-se ao facto de que a energia utilizável num processo, p.ex térmico, etc. ser convertida em energia não utilizável -> aquela é irreparavelmente perdida sob a forma de energia não utilizável, aumentando a desorganização, o grau de incerteza com o consequente aumento do caos. A entropia pode então também ser vista como uma medida daenergia não utilizável no universo. à medida que a energia utilizável diminui aquela aumenta -> corresponde a um aumento de entropia: o universo está permanentemente a perder energia utilizável desde o seu aparecimento (entropia nula.) e nunca a ganhar. O universo não será eterno?

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